dalil sisa

BAB I PEMBAHASAN A. Suku Banyak 1. Pengertian Suku Banyak Adalah suatu persamaan dengan salah satu x berpangkat lebih dari 1, suku banyak atau polinom dalam variable x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut: Dengan  adalah bilangan real dengan . adalah koefisien dari . adalah koefisien dari dan seterusnya. disebut suku tetap (konstanta).  n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. Suku banyak dibagi menjadi dua yaitu suku banyak univariabel, adalah suku banyak yang hanya memilikis atu variable, misalnya (variable x) dan suku banyak multivariable adalah suku banyak dengan variable lebih dari satu, misalnya: (variable x dan y). 2. Nilai suku banyak Berbekal dari fakta bahwa suatu suku banyak adalah bentuk aljabar yang memuat variable, maka suku banyak itu dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dari variabelnya. Nilai suku banyak untuk x = k adalah dengan k adalah bilangan real. Nilai dari dapat dicari dengan dua metode: a. Metode substitusi Contoh 1: Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x berikut: a) x = 1 Jawab: a) untuk x = 1 diperoleh: = 1 + 3 – 1 + 5 = 8 Jadi, nilai untuk x = 1 adalah Contoh 2: Diketahui suku banyak dengan dua variable x dan y, sebagai berikut: Hitunglah: a) b) c) Jawab: a) = = Jadi, merupakan suku banyak dalam variable y. b) = = Jadi merupakan sukubanyak dalam variable x c) artinya variable x = 4 dan variable y = 2 = 32 + 16 + 12 – 8 + 2 = 54 Jadi, merupakan bilangan real b. Metode bagan/skema Contoh: Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan metode bagan. a) untuk x = 5 Jawab: a) Koefisien-koefisien dari adalah , , , dan Untuk x = 5 berarti k = 5, sehingga bagannya diperlihatkan berikut ini: Berdasarkan nilai tersebut, nilai suku banyak untuk x = 5 adalah 5 1 -3 4 -1 10 + + + + 5 10 70 345 1 2 14 69 355 Tanda menyatakan “kalikan dengan 5” 3. Penjumlahan, pengurangan dan perkalian Contoh: Diketahui dua buah sukubanyak dan dinyatakan dengan aturan dan a) Tentukan serta derajatnya b) Tentukan serta derajatnya c) Tentukan serta derajatnya Jawab: a) Jadi, dan berderajat 3 b) Jadi, dan berderajat 2 c) Jadi, dan berderajat 6 4. Kesamaan sukubanyak Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan sukubanyak g(x), jika kedua sukubanyak itu mempunyai nilai yang sama untuk semua variable x bilangan real. Kesamaan dua sukubanyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai dengan lambang dibaca “kesamaan”. Sifat kesamaan dua buah sukubanyak diatas digunakan untuk mencari nilai atau nilai-nilai dalam suatu bentuk aljabar yang belum diketahui. Cara menghitung tersebut disebut sebagai metode koefisien tak tentu. Contoh: Tentukan nilai pada kesamaan Jawab: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan Dengan menggunkaan sifat kesamaan sukubanyak diperoleh: Jadi, nilai pada kesamaan adalah = 4 Latihan 1 1. Diketahui sukubanyak-sukubanyak dan Tentukanlah: a) serta derajatnya b) serta derajatnya c) serta derajatnya 2. Carilah nilai konstanta pada kesamaan berikut! a) b) c) B. Dalil Sisa 1. Menentukan sisa pembagian suatu sukubanyak oleh pembagi berbentuk linier Ada dua macam pembagi berbentuk linear yang dibahas disini, yaitu pembagi berbentuk (x – k) dan pembagi berbentuk ( a. Pembagi berbentuk (x – k) Jika suku banyak pembagi , maka persamaan sebelumnya dapat ditulis menjadi: Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real x. Karena suku banyak pembagi berderajat satu, maka sisa pembagian S maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x. sisa pembagian S ditentukan dengan menggunakan teorema berikut: Teorima 1 (Teorema sisa/dalil sisa) Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh S = f(k). Bukti teorima 1 Subtitusi x = k ke persamaan Jadi, terbutki bahwa sisa pembagian S = f(k) F(k) adalah nilai fungsi sukubanyak f(x) untuk x = k. Nilai f(k) itu dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu metode substitusi atau metode bagan/skema. Contoh 1: a) Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dibagi dengan x – 2 Jawab: Suku banyak dibagi dengan x – 2, sisanya adalah S = f(2). Nilai f(2) dapat dihitung degnan dua metode, yaitu: 1. Metode substitusi Jadi, sisa pembagiannya adalah S = f(2) = -34 2. Metode bagan/skema , maka dan pembagiannya x – 2, berarti k = 2, sehingga bagan atau skemanya adalah: 2 1 -6 -6 8 6 2 -8 -28 -40 1 -4 -14 -20 Dari bagan di atas diperoleh f(2) = -34 Jadi, suku pembagian S = f(2) = -34 Contoh 2: a) Diketahui sukubanyak dibagi dengan (x + 2) menghasilkan sisa 15. hitunglah nilai p. Jawab: jika dibagi dengan (x + 2) maka sisanya S = f(-2) Sisa S = f(-2) = -6p – 9. karena diketahui sisa S = 15, maka diperoleh hubungan: Jadi, sukubanyak dibagi (x + 2) menghasilkan sisa 15 untuk nilai p = -4 Contoh 3: a) Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan x-y. Jawab: Suku banyak tersebut dipandang sebagai sukubanyak dalam variable x (dengan y dipandang sebagai konstanta), sehingga: Pembagian f(x) dengan (x-y) memberikan sisa S = f(y) x Jadi, pembagian sukubanyak dengan x-y memberikan sisa S = 0. Dalam hal sisa S = 0, maka dikatakan habis dibagi oleh x-y atau x-y adalah factor dari b. Pembagian berbentuk ( Teorema 2 Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan ( maka sisanya ditentukan oleh Bukti teorema 2 Substitusi ke persamaan Jadi, terbukti bawa sisa pembagian S = Contoh 4: a) Tentukan sisa pada pembagian suku banyak dengan 2x + 1. Jawab: Suku banyak dibagi dengan 2x + 1, sisanya adalah . Nilai dapat dihitung dengan dua metode, yaitu: 1. Metode substitusi Jadi, sisa pembagiannya adalah 2. Metode bagan/skema , maka dan Bentuk (2x + 1) dapat ditulis menjadi 2 (x + ½), berarti dan k = - Bagan atau skemanya diperlihatkan berikut ini: - ½ 2 9 -6 4 -1 -4 5 2 8 -10 Dari bagan diatas diperoleh Jadi, sisa pembagiannya adalah S = Dari bagan diatas sekaligus juga ditemukan koefisien-koefisien dari H (x). Sehingga dan hasil baginya adalah : Contoh 5: a) Pembagian suku banyak dengan (3x + 1) memberikan sisa 7. Hitunglah nilai p. Jawab: dibagi dengan (3x + 1), sisa Sisa karena diketahui sisa S = 7, maka diperoleh hubungan: Jadi, nilai p = 4 2. Menentukan sisa pembagian suatu suku banyak oleh pembagi berbentuk kuadrat Contoh 6: a) Jika f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, jika f(x) dibagi (x+1) sisanya -3, dan jika f(x) dibagi (x-2) sisanya 2. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x-1) (x+1) (x-2) Jawab: f(x) dibagi (x-1) sisanya 4, maka f(1) = 4 f(x) dibagi (x+1) sisanya -3, maka f(-1) = -3 f(x) dibagi (x-2) sisanya 2, maka f(2) = 2 pembagian sisanya (x-1) (x+1) (x-2) berderajat 3, maka sisanya maksimum berderajat 2. misalkan sisanya dan hasil baginya H(x), maka diperoleh hubungan:  Substitusi x = 1, diperoleh f(1) = a + b + c  Substitusi x = -1, diperoleh f(-1) = a – b + c  Substitusi x = 2, diperoleh f(2) = Persamaan (1) (2) (3) membentuk system persamaan linier tiga variable (variable a, b dan c) dengan penyelesaian Jadi, f(x) dibagi (x-1) (x+1) (x-2) memberikan sisa Teorema Faktor 1. Pengertian factor dan teorema factor Misalkan f(x) adalah suatu sukubanyak, (x-k) adalah factor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0. Di dalam teorema ini, berhubungan dengan logika matematika, jika dan hanya jika, sehingga teorema factor adalah sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi dua arah. a. Jika (x-k) adalah factor dari f(x) maka f(k) = 0 b. Jika f(k) = 0 maka (x-k) adalah factor dari f(x) Contoh: a) Tunjukkan bahwa (x+2) adalah factor dari suku banyak Jawab: Metode Substitusi = 16 – 24 + 16 – 16 + 8 = 0 Karena f(-2) = 0, maka (x+2) adalah factor dari Metode Bagan Horner -2 1 3 4 8 8 -2 -2 -4 -8 1 1 2 4 [0] a) Akar sebuah fungsi Akar sebuah fungsi merupakan semua bilangan yang jika menggantikan peubah akan menyebabkan fungsi bernilai nol (0) Contoh: - Carilah akar fungsi dari Jawab: (x+1) (x-9) = 0 x = -1 x = 9 Jadi, dan b) Teorema akar rasional Jika sebuah fungsi polynomial yang ditulis dalam urutan turun mempunyai koefisien bilangan bulat, mkaa semua akar rasional pasti berada dalam bentuk ± . p = factor suku konstanta q = suatu factor koefisien suku pertama Contoh: Carilah akar rasional dari: p = factor-faktor 3 = ± 1, ± 3 q = factor-faktor 2 = ± 1, ± 2 Kemungkinan bentuk paling sederhana = ± 1, ± ½ , ± 3, ± Menggambarkan grafik fungsi polinominal Fungsi polynomial bentuk f(x) = xn (yang n-nya adalah bilangan positif) membentuk suku dari dua grafik dasar. Contoh: Gambarkanlah 1 0 -19 30 1 1 1 -18 12 -1 1 -1 -18 48 2 1 2 -15 0 = = Akar dari fungsi ini adalah 2, 3 dan -5 x f(x) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -72 0 42 60 60 48 30 12 0 0 18 60 Y 60 50 40 30 20 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X -10 -20 -30 -40 -50 -60